值此冯康先生百年诞辰之际，我们深情地回顾冯先生对中国计算数学的原创性贡献以及他对这一重要领域几代学者的影响。 

　　我和冯康先生的唯一一次见面是在20世纪80年代中期，那时我在美国加州大学洛杉矶分校（UCLA），还是个博士研究生。冯先生去UCLA访问并给了个报告，我的导师Stanley Osher教授让我去他办公室见了冯先生。后来在1993年，我参加了在北京香山举办的第一届华人科学与工程计算青年学者会议。这个会议是冯先生亲自倡导和组织的，我记得我收到的邀请信有他的亲笔签名。遗憾的是，冯先生在会议开幕的那天去世了。后来在会议期间，我们几个人商议成立一个基金用于颁发以他命名的奖项，这就是现在非常有名的冯康科学计算奖。 

　　尽管我和冯先生只见过一次面，但是他学术上的传奇贡献在我的研究生涯中给了我很多灵感。冯先生在计算数学与科学计算的两个主要领域，即辛算法与有限元方法，作出了杰出贡献。 

　　辛算法指的是可以精确保持原系统哈密尔顿结构的数值方法。正如我们所知，所有数值方法都有数值误差，对时间有依赖问题，这些误差往往随着时间延长而增长。所以对长时间模拟问题，为了保证误差比较小，必须采用许多自由度（网格点、时间步等），即使对于当今的计算机这也往往是不现实的。在20世纪70年代，计算机资源还相当匮乏，对许多应用问题是不可能用常规的数值方法获得可靠的长时间解的。冯先生意识到物理系统本身具有一些重要的内在性质，如哈密尔顿结构，它最好能精确保持（至多只是机器舍入误差，而不是数值格式的截断误差）。当然，我们不可能设计出能够消除所有误差的数值算法（否则我们就可以获得原物理系统的精确解了），但是设计一个可以消除特定误差的算法往往是可能的。对辛算法而言，就是消除哈密尔顿结构误差。冯先生是第一个提出这个概念的人，同时他也设计了一系列具有这种性质的数值方法。后来他的同事和学生沿着这条研究思路取得了许多好的结果。辛算法可以笼统地归属于“保结构”方法体系。“保结构”方法指的是可以精确保持（最多为舍入误差）某些重要物理性质的数值方法，如总质量（流体力学守恒方法）、总能量（许多线性和非线性波方程的能量守恒方法）、零散度（不可压流动方程以及计算电磁学中的麦克斯韦方程与磁流体力学方程的散度为零的方法）、某些特殊的定常解（浅水波方程与带重力项的欧拉方程等的保平衡格式）、正性（计算流体力学以及其他领域的保正或更为普适的保界数值方法）等。我自己的研究工作许多是在设计与分析这样的算法，当然这也得益于冯先生的工作和原创思想。 

　　有限元方法是当今求解偏微分方程最广为应用的数值方法之一。最早有限元方法多用于求解椭圆型偏微分方程，如结构力学问题，但后来被推广用于求解各种类型的偏微分方程。冯先生独立于西方发展了一系列有限差分方法，他称之为“基于变分原理的有限差分方法”。这些方法其实就是有限元方法，它们的解用点值表示看起来像是有限差分方法，但稳定性与误差估计是基于变分原理获得的。后来西方承认冯先生独立发展了有限元方法。现在有限元方法几乎无所不在，很难想象如果我们没有有限元方法，建筑设计、水库设计、飞机设计和太空飞船设计等会是怎么样。我的许多研究工作是在设计和分析一种特殊的有限元方法，即间断伽辽金方法，无疑这也得益于冯先生的工作和先驱思想。 

　　2019年暑假，我再次来到北京香山，参加了第三届华人科学与工程计算青年学者会议。我欣慰地发现，在第一届会议过去26年后，有了新一代的从事计算数学与科学计算的中国青年学者，比起我们，他们正在更广泛的领域开展更深入的工作。当初由冯先生领导的中国计算数学与科学计算界正在蓬勃发展，这种蒸蒸日上的势头一定会持续下去。

本文原载于《冯康先生纪念文集》