1984年，国际著名数学家，我国计算数学事业的主要奠基人和开拓者，中国科学院院士冯康先生，在北京微分几何与微分方程国际会议上，首次系统提出了哈密尔顿系统的辛几何算法。这一成果开创了将计算物理、计算力学和计算数学相结合的、富有活力及发展前途的前沿研究领域。美国科学院院士P. Lax教授评价：“冯康提出并发展了求解哈密尔顿型演化方程的辛算法，理论分析及计算实验表明，此方法对长时计算远优于标准方法。” 该成果1990年获得中国科学院自然科学一等奖， 1997年获得国家自然科学一等奖。

　　年过花甲  勇探哈密尔顿体系

　　冯康生于1920年9月9日，于1993年8月17日因病逝世，毕生从事数学研究，从纯粹数学、应用数学到计算数学，成就卓著。他是国际著名数学家，我国计算数学事业的主要奠基人和开拓者，中国科学院院士。早在20世纪60年代，冯康就独立于西方创始了有限元方法，如今这一成就已为全人类所共享。20世纪80年代，他已功成名就，享誉国际，但在花甲之年，却毅然决定进入一个全新的研究领域，去研究哈密尔顿系统的辛几何算法，并为此耗尽了生命最后十年的全部心血。是什么促使他作出这一决定呢？

　　冯康院士

　　20世纪80年代初，冯康院士在成功地创始了有限元、解决了以静态问题为背景的椭圆型偏微分方程的数值方法以后，开始重点考虑如何有效求解动态问题。特别，在求解该类问题时如何保证长时间计算的可靠性更是他关注的焦点。因为他发现传统的算法除少数例外，几乎都不可避免地带有人为耗散性等歪曲体系特征的缺陷，而这一缺陷可能导致长时计算结果面目全非。因此研究动态问题，特别是动态问题中非常重要的哈密尔顿体系的计算方法，是亟待解决的重要课题。

　　冯康院士70寿辰做报告

　　冯康曾在中国物理学年会上提出：“在遥远的未来，太阳系呈现什么景象？行星将在什么轨道上运行？地球会与其他星球相撞吗？有人认为，只要利用牛顿定律，按现有方法编个程序，用超级计算机进行计算，花费足够多的时间，便可得到要求的答案。但真能得到答案吗？得到的答案可信吗？实际上对这样复杂的计算，计算机往往得不出结果，或者得出完全错误的结果。每一步极小的误差积累可能会使计算结果面目全非！这是计算方法问题，机器和程序员都无能为力。”从中不难看出冯康先生关注动态问题中哈密尔顿体系计算方法的原因。

　　可以说，正是为了解决动力系统的计算问题，在20世纪80年代初，他的研究方向才转向了哈密尔顿系统的计算方法，从而开辟了一个全新的有广阔应用前景的研究领域。

　　独辟蹊径  创始辛几何算法

　　当代科学计算的主要课题是数值求解各种数学物理方程，包括常微分方程和偏微分方程，它们在许多不同的科学和工程领域有广泛的应用背景。在数学物理方程的谱系中，列于首位的是经典力学方程。

　　这类方程有三种等价的数学形式体系，即牛顿体系、拉格朗日体系及哈密尔顿体系。虽然它们在表达同一物理规律时在数学上是等价的，但在对该物理现象进行研究及数值求解时却能提供不同的技术途径，从而在实践中并不等效。那么应该用什么样的方法才能有效地计算动力系统问题呢？在创始有限元方法的过程中，冯康注意到哈密尔顿力学体系，并发现唯有哈密尔顿力学体系才是可供选择的研究动态问题最适当的力学体系。因为哈密尔顿体系形式上特有的对称性一直是物理学理论研究的出发点，一切守恒的真实的物理过程都可以表示为哈密尔顿体系。同时，由于辛几何是哈密尔顿体系的数学基础，从而与欧氏几何一样它在现代物理学和力学中起着不可替代的重要作用，因此，辛几何就成了破译哈密尔顿系统计算难题的钥匙。冯康以其渊博的数学知识、深厚的学术功底，以及特有的数学直觉抓住了设计哈密尔顿系统数值方法的突破口——辛几何方法。

冯康手稿

　　哈密尔顿方程是特定形式的常微分方程或偏微分方程。但直到20世纪80年代，数值求解微分方程的众多方法都是从牛顿体系或拉格朗日体系出发，而针对哈密尔顿体系的计算方法却是空白。为了填补这一空白，冯康先生在花甲之年开始了新的科学探索。在1984年北京微分几何与微分方程国际会议上，他做了题为“论差分格式与辛几何”的大会报告，首次系统提出了哈密尔顿系统的辛几何算法，由此奠定了他在辛几何算法研究领域中的领先地位。此后他组织了一支精干的队伍，继续在这一方向开展相关研究，其内容包括：提出了基于辛几何的哈密尔顿系统的计算方法；发展了辛变换生成函数与哈密尔顿—雅可比方程的系统理论；给出了产生任意阶精度辛差分格式的构造性方法；提出了保持动力系统其他结构的各类算法，实现了动力系统算法的几何化等。

冯康绘制的辛几何算法计算图形

　　冯康提出的这些新算法有保持体系结构的优点，在空间结构、对称性和守恒性方面均优于传统算法，特别是在稳定性与长期跟踪能力上具有独特的优越性。这些工作开创了将计算物理、计算力学和计算数学相结合的、富有活力及发展前途的前沿研究领域。冯康也因此获得了1990年中国科学院自然科学一等奖。

　　精神长存  激励后人继承发展

　　冯康的开创性工作不仅提供了解决动力系统计算问题的新思想和新方法，而且产生了广泛而深远的国际影响，带动了国际上一系列相关研究，促进了国际上这一方向研究工作的迅速发展。国际数学家联盟也关注这一新的研究方向，并计划邀请冯康在1994年国际数学家大会上再次做45分钟报告。但非常不幸，冯康于1993年辞世。  

　　后来那个介绍辛算法的45分钟报告是由西班牙学者Sanz-Serna做的，他曾于1987年访问中国，听过冯康先生介绍辛算法，此后他也进入了辛算法这一研究领域。他没有忘记冯康先生对他的影响，在报告的第一张投影片上打出了“纪念冯康教授”几个大字。美国科学院院士P. Lax教授评价：“冯康提出并发展了求解哈密尔顿型演化方程的辛算法，理论分析及计算实验表明，此方法对长时计算远优于标准方法。在临终前，他已把这一思想推广到其他结构。”现在，冯康的研究成果已在天体力学、分子动力学、大气海洋数值模拟等领域得到了成功应用。深入的理论分析和大量的数值实验令人信服地表明，辛算法解决了久悬未决的动力学长期预测计算问题。这一新算法的出现甚至改变了某些学科方向的研究途径，并将在更多的领域得到更广泛的应用。 

哈密尔顿系统的辛几何算法获国家自然科学一等奖

　　1997年12月26日，国家科技奖励大会在人民大会堂召开，冯康先生生前的主要合作者、多年的助手和同事秦孟兆研究员代表他从国家主席江泽民手中接过了国家自然科学一等奖的证书，这是该奖项在一等奖多年空缺后于当年颁发的唯一一个一等奖，也是当时国家对自然科学研究成果的最高奖励。冯康先生的遗愿终于在他去世4年后得以实现！冯康未完成的书稿《哈密尔顿系统的辛几何算法》也终于在秦孟兆教授的努力下，在他逝世十周年之际完成并出版。

中科院计算数学所冯康塑像

　　正如冯康院士胞弟、著名物理学家冯端院士于2003年在《哈密尔顿系统的辛几何算法》一书后记中所写：“冯康虽然离开人间已经10年了，他的科学遗产仍为青年一代科学家所继承和发展，他的科学精神和思想仍然引起人们关注、思考和共鸣。他还活在人们的心中！”

　　（图文/中科院计算数学所  余德浩）