朗兰兹纲领研究整体域上伽罗华群的表示和约化群自守表示之间的对应。构造这些对应的核心方法是研究志村簇的l-进上同调。Langlands-Kottwitz猜想志村簇的l-进相交上同调实现了相应约化群的朗兰兹对应。这是朗兰兹纲领的核心猜想之一，很多著名数学家都曾做过重要的相关工作，如Langlands, Kottwitz, Morel, Scholze等。申旭证明了：
Langlands-Kottwitz猜想对任意p-进参数化志村簇以及四元数代数志村簇均成立。
这些志村簇在p处有奇异约化，因而经典的数点方法并不完全适用。申旭发展了新的方法克服了这些困难，并证明了轨道积分的消失性定理。
发表论文
1. Xu Shen. On the l-adic cohomology of some p-adically uniformized Shimura varieties, Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 2018, volume 17, issue 5, 1197-1226.
2. Xu Shen. On the cohomology of some simple Shimura varieties with bad reduction, Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 2019, volume 18, issue 1, 1-24.
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