低秩矩阵恢复问题在信号及数据处理中有着广泛的应用，亦是近期应用数学中的一个热点研究问题。假定 Q ∈C^d×d 秩不超过 r，且已知 yj=<Aj, Q>, j=1,...,m, 这里 Aj∈C^d×d 为已知矩阵。低秩矩阵恢复问题描述为：如何通过观测向量(y1, y2,..., ym)恢复秩不超过 r 的矩阵Q∈C^d×d ？低秩矩阵恢复中一个基本问题是：若恢复秩不超过r 的矩阵 Q, 至少需要多少次观测？也就是m最小为多少？对于r≤d/2，Eldar, Needell, Plan猜想最小观测次数为4dr-4r2。采用行列式代数簇工具，我们对复的情形证明了该猜想成立。对实情形，采用计算代数几何的工具，如 Grobner 基，Sturm序列等，构造了一个反例。从而在实情形否定了该猜想。因而给了这个问题一个完备的回答。 

　　利用信号在子空间上投影的范数对信号进行恢复即为投影相位恢复。著名相位恢复专家 P. Casazza 等人证明了：对于d 维实信号，可用2d ？1次投影将其唯一确定。P. Casazza 等人进一步提出如下公开问题：2d ？1次投影是否最少？利用计算代数几何方法，我们也否定回答了该公开问题。并依此为基础，建立了仿射相位恢复的理论框架。 

　　发表论文　　  

　　1. Zhiqiang Xu, The minimal measurement number for low-rank matrix recovery, Appl. Comput. Harmon. Anal. 44 (2018) 497-508.（唯一作者） 

　　2. Bing Gao, Qiyu Sun, Yang Wang and Zhiqiang Xu, Phase retrieval from the magnitudes of affine linear measurements, Advances in Applied Mathematics 93 (2018) 121-141. （通讯作者）