高维等熵/非等熵可压缩Navier-Stokes方程组是否具有允许真空初值的整体光滑解和弱解是一个长久的公开问题。我们在该系列问题的研究上取得了重大进展。 

　　一、三维完全可压缩流体允许真空态的古典解和弱解的整体存在性 

　　 对三维完全可压缩Navier-Stokes方程组而言，如果其具有全局紧支集或者局部紧支集结构的初值，辛周平及其合作者已经证明符合物理意义，即温度在真空区域必须处于绝对零度状态的光滑解会在有限时刻内爆破。因此，研究真空解的存在性问题必须面对这个困难。 

　　 事实上，Matsumura-Nishida建立了在非真空状态附近小扰动的整体光滑解的存在性。David Hoff得到了远离真空的小扰动初值的整体弱解的存在性。Feireisl则只能对具有特殊压力结构的完全可压缩方程组建立一般大初值的变分弱解。Lions更是认为理想状态方程的完全可压缩方程组的整体弱解很难期望，概因其先验的能量估计无法保证方程组的关键部分可积，从而在分布函数下均无意义。 

　　 我们首次发现了可压缩Navier-Stokes方程组精妙的内蕴结构，结合美国数学家David.Hoff的工作，不仅证明了诺贝尔奖得主J.Nash在1958年提出的可压缩热传导流体光滑解爆破的猜测。在此基础上，我们首次证明了如果初始密度在无穷远处的分布具有正下界，只要初始的能量小，三维完全可压缩理想流体就存在允许真空初值的整体古典解和弱解。 

　　 本文具有三方面重要的意义： 

　　I） 对热传导可压缩流体光滑解的存在性理论而言，这是允许真空初值的第一个光滑解（及弱解）的整体存在性结果，同时也是自1980年日本数学家Matsumura-Nishida建立的远离真空态小扰动整体存在性理论以来的重要进展。 

　　II） 对热传导可压缩流体的弱解而言，部分解决了Fields奖得主P.L.Lions在其著作《Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 2. Compressible models》 中关于整体弱解存在性的猜想。 

　　III） 本文发展了大量全新的先验估计。鉴于经典的成果都是基于某种线性化方程的小扰动理论，其核心思想是将非线性项的影响降到最低，从而将其转化为线性方程为主导的发展方程。本文的证明思路是综合考虑了方程组的线性部分和非线性部分的相互作用，在小能量的约束下，非线性项仅仅具有某种全局意义下的小性，而并不是经典理论要求下的几乎处处的小性。 

　　意大利数学家 A.Morando在美国数学会AMS Review上评论此文是历史上第一次对完全压缩Navier-Stokes系统建立了允许真空退化的整体光滑解，是对1980年代日本数学家Matsumura关于经典解结果的重大推广。同时，Morando也指出：作者亦是第一次得到了该系统允许真空和间断初值的整体弱解，推广了美国数学家David.Hoff在1997年的结果，该文只能对远离真空的小扰动初值建立整体弱解。 

　　以下内容部分摘自Morando 在AMS上的评价: 

　　”The result is the first one concerning the global existence of classical solutions with vacuum to the full compressible Navier-Stokes system”.  

　　“Again, this is the first result concerning the global existence of weak solutions to the Cauchy problem for the full compressible Navier-Stokes system in the presence of vacuum and extends to the case of large oscillations and non-negative initial density the global weak solutions of D. Hoff [Arch. Rational Mech. Anal. 139 (1997), no. 4, 303–354; MR1480244], where, instead, the initial density and temperature are strictly positive.”  

　　文章发表在2018年的Archive for Rational Mechanics and Analysis。 

　　二、二维等熵可压缩流体大初值整体光滑解存在性的最优结果 

　　1995年Kazhikhov-Vaigant首先在粘性系数 μ=常数， λ=ρ^β, β>3的时候对远离真空的初值得到了整体光滑解。我们首次在β>4/3的情况下对任意光滑初值得到了允许真空初值的整体光滑解和弱解。 

　　这里面主要有三个技术创新。首先，我们对Kazhikhov模型的流体建立了密度上界的爆破准则，从而将证明的主要困难转化为密度的上界估计。其次，我们对速度场建立了精细的高阶可积性估计，并证明其上界仅仅依赖于密度的上界。最后，我们利用粘性系数的性质和密度的输运方程得到全新的结构，结合二维空间精细的交换子估计，将有效粘性通量和旋度的控制转化为密度的上界估计。通过新结构下密度的damping 性质结合 β>4/3完成了密度的上界估计。这是迄今为止对二维可压缩流体模型大初值整体光滑解的最优结果。 

　　文章发表在2016年的Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 。 

　　论文信息： 

　　[1]Huang, X.D., Li, J.: Global classical and weak solutions to the three-dimensional full compressible Navier–Stokes system with vacuum and large oscillations. Arch. Rational Mech. Anal., 227(2018),No. 3, 995-1059. 

　　[2]Huang, X.D., Li, J.: Global existence and large-time behavior of strong solutions to the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations with large data. J. Math. Pures Appl. (9) 106 (2016), no. 1, 123-154.