可压缩Navier-Stokes方程和Boltzmann方程解的适定性和渐近行为的研究一直以来都是非线性偏微分方程中的重要研究课题。最近，我们在这方面问题的研究中取得了重要进展。  

　　1. 可压缩Navier-Stokes方程解的渐近行为的研究 

　　著名的不可压缩Navier-Stokes方程形式上为可压缩Navier-Stokes方程的低马赫数(Mach number)极限，因此低马赫数极限是非常重要的数学问题。关于低马赫数极限的研究有很多结果，如2006年法国数学家T. Alazard基于声波分析，证明了可压缩Navier- Stokes方程一般初值情形的低马赫数学极限。注意到，之前所有的工作均要求无穷远处的状态是同一个常数。最近我们对于无穷远处状态为两个不同常数时，证明了一维可压缩Navier-Stokes方程的低马赫数极限。特别地，除了上面到的声波，我们发现了新的波现象，即扩散波。该波与著名的热蠕流动(流体从低温部分流向高温部分)紧密相关（见图1）。 实际上，我们构造了极限方程的一个扩散波解，该扩散波解的速度与温度的导数成正比(即热蠕流动)。首次从数学上证明非等熵可压Navier-Stokes方程的解的速度与温度的导数成正比，即可压Navier-Stokes方程的解在一定条件下有热蠕流动现象。研究成果发表在Advances in Mathematics., 319 (2017), 348-395。 

图1：热蠕流动 

　　可压缩Euler方程是用来描述理想流体运动的方程。形式上，当粘性系数和热传导系数趋于零时，可压缩Navier-Stokes方程趋近于可压缩Euler方程。从数学上严格证明该极限是一个非常重要的数学问题。特别地，对于初边值问题，可压缩Navier-Stokes方程的解会在边界附近出现急剧的变化，即出现边界层，这就给分析带来很大的困难。对于一般的有界光滑区域，我们证明了可压 Navier-Stokes 方程的 Navier-slip 类型初边值问题的解到可压 Euler 方程解的流体极限， 并得到了收敛速率，相关结果发表在SIAM J. Math. Anal, 47(2015), no. 6, 4123-4191及 Arch. Rational Mech. Anal., (2016), no.3, 1345-1415。 　  

　　2. Boltzmann方程一类大初值解的整体适定性 

　　Boltzmann方程解的整体适定性问题是偏微分方程中的核心问题。对于一般初值，美国数学家R.J. Diperna与法国数学家P.L. Lions (1994年Fields获得者) (Ann. of Math, 1989)通过弱紧性方法首次得到了Boltzmann方程的大初值重整化解的整体存在性，并在论文中指出解的唯一性是重要的公开问题。假设解在正则性足够高的Sobolev空间中一致有界，法国数学家L. Desvillettes和C. Villani (2010年Fields奖获得者) (Invent. Math, 2005)证明了解大时间趋近于相应的平衡态；然而证明满足要求的整体解的存在性本身是非常困难的公开问题。另一方面，在扰动框架下有很多关于 Boltzmann 方程整体光滑解的存在性和大时间渐近行为的研究工作，但均要求初值是平衡态附近的“小”扰动。 

    我们发展了一种新的先验估计，对于一类大振幅的初值（见图2），证明了Boltzmann 方程整体解的存在唯一性及解的正则性。我们的工作是首个具有唯一性的 Boltzmann 方程大初值整体解的数学结果，部分回答了P. L. Lions 等人提出的公开问题。此外，即使没有 Villani等人关于解的一致正则性假设，我们仍然能够得到该类大扰动初值 Boltzmann方程解的大时间衰减速率。最近，我们还将该结果推广到了有界区域的情形。论文分别发表在Arch. Rational Mech. Anal., 225 (2017), no. 1, 375-424和Advances in Mathematics. 343 (2019), 36-109. 

　　发表论文： 

　　[1] Renjun Duan, Yong Wang, The Boltzmann equation with large-amplitude initial data in bounded domains. Advances in Mathematics. 343 (2019), 36-109. 

　　[2] Renjun Duan, Feimin Huang, Yong Wang, Tong Yang, Global well-posedness of the Boltzmann equation with large amplitude initial data. Arch. Ration. Mech.      Anal., 225 (2017), no. 1, 375-424. ？ 

　　[3] Feimin Huang, Tianyi Wang, Yong Wang, Diffusive wave in the low Mach limit for compressible Navier-Stokes equations, Advances in Mathematics. 319 (2017), 348-395. 

　　[4] Yong Wang, Uniform Regularity and Vanishing Dissipation Limit for the Full Compressible Navier-Stokes System in Three Dimensional Bounded Domain, Arch. Rational Mech. Anal. (2016), no.3, 1345-1415. 

　　[5] Yong Wang, Zhouping Xin, Yan Yong, Uniform regularity and vanishing vis- cosity limit for the compressible Navier-Stokes with general Navier-slip boundary conditions in three-dimensional domains, SIAM J. Math. Anal. 47(2015), no.6, 4123-4191.