不确定性量化（Uncertainty Quantification）的主要目标是刻画数学建模中的不确定性，以便更准确地进行模型预测。近年来，不确定性量化已经被成功应用于诸多研究领域，例如水文学，流体理学，天气预测等等。不确定性量化的研究可以大致分为正问题的算法研究和反问题的算法研究。 

　　在正问题算法层面，周涛博士近期与合作者提出了基于平衡态测度（equilibrium measure）抽样的Christoffel加权离散投影方法。在线性复杂度下保证算法的稳定性和最佳收敛性，从而将现工作中样本数量的平方复杂度降低为最优的线性复杂度，提高了计算效率。并且，该算法被成功应用于数据驱动的多项式逼近问题以及带有梯度信息的重构算法，在保持稳定性的同时，提高了计算效率。这一系列工作被计算数学著名期刊SIAM Review邀请综述性论文。 

　　相关论文信息如下： 

　　1, Ling Guo, Akil Narayan, and Tao Zhou,  Constructing least-squares polynomial approximations, to appear in SIAM Review, 2020. 

　　2, Ling Guo, Yongle Liu, and Tao Zhou, Data-driven polynomial chaos expansions: a weighted least-squares approximation, J. Comput. Phys., 381:110-128, 2019. 

　　3, Ling Guo, Akil Narayan, Liang Yan, and Tao Zhou,  Weighted approximate Fekete points: sampling for least-squares polynomial approximation, SIAM J. Sci. Comput., 40(1),A366–A387, 2018. 

　　在反问题算法方面，周涛博士与合作者提出了贝叶斯反问题的自适应替代模型方法。该算法始于一个粗糙的替代模型，并在线上（online）抽样过程中进行局部自适应矫正，该算法大幅度的提高了对后验分布的抽样效率。同时，该算法具有一般性，可以耦合卡尔曼滤波算法等其他反演算法。相关研究论文如下： 

　　1, Liang Yan and Tao Zhou, Adaptive multi-fidelity polynomial chaos approach to Bayesian inference in inverse problems, J. Comput. Phys., 381: 129-145, 2019. 

　　2, Liang Yan and Tao Zhou,  An adaptive multi-fidelity PC based  ensemble Kalman inversion for inverse problems, Int. J. Uncertai. Quantif.,9(3):205-220, 2019.