该成果研究了Witten亏格在几何与拓扑中的若干应用。Witten亏格于1988年由E. Witten提出，通过Atiyah-Singer指标定理其将拓扑、几何与模形式等不同领域联系起来。

　　1.我们通过构造twisted Witten classes证明了spinc、spinw2及可定向情形下的Witten-Freed-Hopkins型反常消解公式，并给出了原始Witten-Freed-Hopkins公式在广义情形的解析解释；

　　2.通过构建复弦流形的代数拓扑、以及构造一族广义Witten亏格，证明了复弦流形的指标定理、及关于非交换群作用的消灭定理，并运用消灭定理覆盖了S^3版本的Petrie猜想(‘72)的最新进展；

　　3.通过运用Borel-Hirzebruch格式等研究Witten亏格的核，给出了24维弦配边的一组整基，进而完全确定了24维弦流形的Pontryagin数。

　　Witten亏格于1988年由E. Witten提出，其可以形式地看成自由回路空间的A-hat亏格。作为Atiyah-Singer指标理论下的一种形式指标，Witten亏格将拓扑、几何与模形式等不同领域联系起来。Witten亏格的几何实现一直是弦几何的核心问题；在新世纪之交，Hopkins-Miller通过构建拓扑模形式给出了Witten亏格的同伦提升。

　　1.反常消解是规范理论中必要而核心的问题。M-理论是11维的理论，其反常是12维的可逆拓扑场论。Witten及Freed-Hopkins分别证明了spin及pin+情形下的反常消解。基于他们的工作，在[1]中通过构造twisted Witten classes，我们系统地证明了一族Witten-Freed-Hopkins型反常消解公式。特别地，我们扩展了Freed-Hopkins的三次型研究，并将Witten的spin情形下的反常消解推广到spinc、spinw2及可定向情形，审稿意见形容此为“a notable step”;同时给出了原始Witten-Freed-Hopkins公式在广义情形的解析解释。

　　2.Atiyah-Singer指标理论是20世纪最重要的数学成就之一。Witten证明了关于弦流形Witten亏格的指标定理，刘克峰证明了相应的消灭定理。我们在[2]中的结果将指标定理及消灭定理推广至复弦情形。其包含了张伟平等人的两种特殊复弦。同时，作为消灭定理的直接应用，我们覆盖了S^3版本的Petrie conjecture的最新进展。审稿意见认为该工作是“of interest to topologists, differential geometers, as well as mathematical physicists”。

　　3.一方面，24维弦流形有着特殊的研究地位。比如Hirzebruch在其著作中分析了该维度下的Witten亏格，并提出了关于24维弦流形的有奖问题；Mahowald-Hopkins在同伦层面部分地解决了该问题；Teichner进一步提出一个twisted指标的整除问题。另一方面，示性数的整除性问题是几何拓扑中的一类基本问题。比如关于4维光滑流形的经典Rokhlin定理。在[3]中我们完全确定了24维弦流形的Pontryagin数，为研究Teichner的问题提供了必要拓扑结果。同时作为应用，我们证明了一系列Rokhlin型整除性定理。审稿意见认为该工作“made significant advance”。