司法量刑问题，关乎刑罚公正，是刑事正义的终极体现。为实现“努力让人民群众在每一个司法案件中感受到公平正义”，国家持续推进量刑规范化改革，规范刑罚裁量权，促进量刑公正。  

　　随着大数据与信息技术等的快速发展，国家智慧法院建设工程不断推进，智能审判辅助系统在全国司法审判实践中广泛应用，公众对于司法规范性和公正性的关注和期待不断上升，对司法数据的分析利用也成为广泛关注的焦点。然而，对于法治场景，特别是涉及人身自由与财产等方面基本权利的数据分析及预测，其背后的数学模型的适用性与计算方法的可靠性至关重要。  

　　迄今为止，司法数据分析在法律实证研究领域已有许多有意义的进展，然而在数学模型的适用性和计算结果的可靠性方面仍鲜有深入研究。  

　　具体而言，关于特定法治场景数学模型的建立，依赖于对法律关系的深入分析和对法律推理逻辑的准确把握，而目前常用的多元线性回归模型等仍有明显局限，无法体现当前量刑问题所固有的非线性饱和特性。进一步，经典的统计学计算方法，其理论依据大多基于大数定律和中心极限定理等概率统计中渐近性质的结果，除了需要先验性地假设数据满足良好的统计性质（如独立同分布等）之外，理论上还要求数据量趋于无穷大（至少要足够大），并且在给定有限数据样本量的实际情况下，一般难以给出对计算结果可靠性的精准估计。  

　　总之，已有的相关司法量刑研究在数学模型、计算方法和理论保证等方面，还存在许多基本问题需要研究解决，需要数学与法学的深入交叉融合以及系统辨识理论研究的突破。  

　　系统辨识是现代控制理论的重要研究方向之一，旨在利用测量到的系统输入输出数据对动态系统的结构或参数进行辨识。经过半个多世纪的发展，系统辨识理论取得丰硕的研究成果，相关方法在实际工程系统设计中得到广泛应用。然而，现有比较成熟的理论多是针对线性系统的，关于非线性系统的辨识理论远未成熟，特别是关于一般数据条件下非线性随机系统辨识算法的收敛性研究，往往只有关于局部收敛性的渐近结论，并且大多需要数据满足比较苛刻的“激励条件”。这对许多实际问题的研究带来较大局限性，包括对司法量刑问题研究涉及的实际判决数据。 

　　最近，中国科学院数学与系统科学研究院郭雷院士指导博士研究生张蓝天与山东大学数据科学研究院王芳教授开展合作研究，针对司法量刑这一刑事正义的重要场景，依据《刑法》和量刑规则，提出了新的非线性量刑模型，在非线性递推辨识理论与量刑问题的交叉研究方面，取得重要进展，相关成果9月29日发表在《中国科学：信息科学》。同时，在相伴论文（Zhang L T, Guo L. Adaptive identification with guaranteed performance under saturated-observation and non-persistent excitation. 2022. arXiv:2207.02422）中，作者针对带有饱和非线性的随机回归模型，提出了新的非线性自适应递推辨识算法，建立了关于辨识精度的误差估计理论，并且可以应用于对故意伤害罪判决数据的计算和分析。 

　　作者的创新性贡献体现在如下三个方面： 

　　一是在数学模型的建立方面，建立了更加符合法逻辑的，具有可解释性的非线性量刑模型，体现了量刑所固有的非线性饱和特性。特别地，增加了基于犯罪构成要素对量刑起点和基准刑的考虑，更加符合量刑的法逻辑；引入非线性饱和函数，以体现实际量刑中对宣告刑的法定刑区间限制，从而弥补了传统线性模型的相应不足。 

　　二是在算法设计及性能理论方面，针对所建立的新的非线性量刑模型，为了提高在非持续激励数据条件下的辨识精度，作者构建了两步骤随机拟牛顿自适应递推辨识算法，并建立了相应的算法全局收敛性理论。将这一自适应递推算法用于对司法判决数据的计算，可以从理论上给出对未知参数估计值的可靠性保证，还可以观测估计值随时间的可能变化趋势。详言之，在不需要数据满足传统持续激励条件（如独立同分布假设等）下，证明了辨识算法的全局收敛性；特别地，在有限数据样本的实际情形下，建立了辨识精度的可靠性理论保证，并以大概率界定量刑情节的实际作用大小。 

　　三是在法律实证和计算效果方面，利用新的非线性量刑模型及相应的自适应递推辨识理论，作者基于过去十年近20万份故意伤害罪刑事一审判决数据开展了实证研究，对司法判决与量刑规则的符合程度进行了实际检验。从检验效果来看，新的模型和计算方法具有更好的刑期预测能力；计算结果更符合量刑基本原则和具体规则，可以更好地反映量刑情节的实际影响。这对于发现司法审判事实，推动司法公正具有重要意义。  

　　这项研究再次说明，实际问题研究的挑战可以促进理论研究发展，而理论研究的突破反过来又可以促进实际问题的解决，体现了理论与实际之间相互促进的互益研究关系。 

　　论文全文链接：http://engine.scichina.com/doi/10.1360/SSI-2022-0325