几何变分问题在临界点处的正则性与稳定性（张翼）----中国科学院数学与系统科学研究院

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几何变分问题在临界点处的正则性与稳定性（张翼）

发布时间：2023-01-13 |来源：

　　几何不等式，特别是（包括Wullf能量下的）等周不等式和Sobolev不等式，不仅是建立分析和几何相关理论的重要基础，也是众多科研模型以及计算机算法研究中不可或缺的部分。它们所对应的变分问题的解的正则性与稳定性，也是在分析与几何交叉的相关领域中的核心问题之一。其中有大量的关键问题亟待解决。与此同时，这些问题也与数学以外的科研领域中的许多问题相关。它们的解决也将推动这些方向的理论发展与完善。

　　在与合作者的研究过程中，完成人得到了如下主要成果：

　　1. 从数学上证明了晶体结构的强稳定性，解释了相关的物理现象，并回答了Figalli-Maggi在2021年提出的公开问题。证明了1<p<n时Sobolev不等式关于梯度的最佳稳定性，回答了一般情形下的Brezis-Lieb问题。

　　2. 证明了Morse指标有限时，关于一般超临界指标增长的拟线性方程解的正则性，并刻画了此时解曲线的形态，推广了一系列之前对于特殊拟线性方程解的相关结论。

　　相关论文：

　　[1] A. Figalli, Y. R.-Y. Zhang, Strong stability for the Wulff inequality with a crystalline norm. Comm. Pure Appl. Math. 75 (2022), no. 2, 422–446

　　[2] A. Figalli, Y. R.-Y. Zhang, Sharp gradient stability for the Sobolev inequality. Duke Math. J. 171 (2022), no. 12, 2407–2459.

　　[3]A. Figalli, Y. R.-Y. Zhang, Uniform boundedness for finite Morse index solutions to supercritical semilinear elliptic equations, Comm. Pure Appl. Math., Accepted.

　　完成人：

　　张翼

　　Email: yzhang@amss.ac.cn

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