对一类线性梯度型系统，通过引入升维函数，构造了新型的保持系统守恒规律的数值方法。把线性梯度系统嵌入到一个高维空间中，我们因此得到了一个与原始问题等价的扩展系统。通过扩展系统，我们构造了一类高效的保持守恒量的格式。 这类格式包含经典数值方法，更重要的是它可以保持原问题的守恒量。在构造过程中，我们还提出一个理论：就是为了保证高维空间构造的数值方法可以保持原始问题的守恒量，升维函数需要保持Casimir函数。新得到的数值格式通过大量的数值实验验证了数值方法的有效性。我们同时考察了反应扩散方程等具有守恒量耗散的系统。基于我们之前提到的理论，构造了更好的保持能量耗散性质的数值格式，并模拟了包括Allen-Cahn方程、Cahn-Hilliard方程在内的经典的相场方程。通过与经典模拟结果比较，展示了我们新构造格式的有效性。

Publication:

SIAM J. Sci. Comput. 47(1), 2025

https://doi.org/10.1137/23M1617618

Nan Lu

Department of Mathematics, Southern University of Science and Technology (SUSTech), Shenzhen 518055, China.

Yushun Wang

Ministry of Education Key Laboratory for NSLSCS, Jiangsu Collaborative Innovation Center of Biomedical Functional Materials, School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University, Nanjing 210023, China.

Yajuan Sun

LSEC, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China, and University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China.

Email: sunyj@lsec.cc.ac.cn