杨钊, 应用数学研究所

在倾斜的泄洪渠上，水流往往不是等高的层流，会形成周期滚动激波，简称滚波。由于滚波的水深不是常值，其激波处的水深必定比相同泄洪量层流大。为了避免洪水外溢导致的非必要经济损失，滚波强度与泄洪渠坡度、截面形状、渠宽等变量之间的关系是水利工程学研究的主要问题之一。数学上，假设流体垂直尺度远小于水平尺度，对三维自由表面无旋不可压Navier-Stokes 方程做垂直方向的积分，我们得到Saint-Venant (SV) 浅水波方程。该方程具有滚波解，同时也具有另一类行波解——水力激波。后者在大坝溃坝以后随之产生，当河道坡度足够大时，激波后端的水深将比初始上游水位大，如果该波是（传输）稳定的，将对下游造成极大的经济损失。因此对水力激波的研究同样具有重要的工程应用意义。本报告将介绍一维SV方程滚波、水力激波已有的存在性、稳定性研究结果，以及二维SV方程滚波、水力激波的研究进展、难点。