Mumford 主要研究视觉的计算机理论，吴文俊主要研究几何领域的计算机证明。他们都在学术研究和学科发展上做出了先驱性的突出贡献。这些领域中许多领衔科学家都曾受到他们的指导，或是跟随他们的足迹进行研究。 

Mumford早期的工作属于代数几何，特别是代数曲线。他由此获得1974年菲尔茨奖。代数曲线是数学中古老而核心的问题，许多著名数学家在此方面做出贡献。尽管如此，该领域仍然有许多工作有待完成。Mumford主要的成就是使得模理论得到了复兴，并推动了其发展。代数曲线依赖于一个重要整数：亏格g。当g=0时曲线是有理的，当g=1时曲线是椭圆的并且依赖于一个额外连续参数或模。当g ≥ 2时，存在3g-3个模，形成一个（复杂）空间，该空间的特征告诉我们曲线整体的信息。Mumford 建立了系统有效地研究模空间的基础。他的这项工作具有广泛的影响，甚至在物理的弦论中都有令人惊讶的应用。 

在代数曲线领域工作了二十年后，Mumford的研究方向发生了重大变化，转向了计算机视觉。在此，他凭借其数学功底和洞察力做出了原始与基本的贡献。他提出了一个概念框架，原则上能够普遍解决一大类问题，并给出了一些问题的具体解。他在1985年与Shah 合作的关于信号处理变分方法的论文刚刚获得由电子与电气工程师学会（IEEE）颁发的奖项。 

Mumford在模式理论和视觉研究方面的许多原创性贡献包含在他1999年出版的著作《人脸的二维和三维模式》(A. K. Peters 公司)，以及将要出版的《模式理论实例》中。

吴文俊是深受陈省身（2004年邵逸夫奖得主）影响的几何学家之一。他在二战以后早期的工作集中在流形的拓扑。拓扑学为微分几何提供支撑，著名的陈类是拓扑学中的重要概念。他发现了与陈类并行的一组不变量，现在被称为吴类，被证明与陈类几乎同等重要。他进一步利用吴类得到了将流形嵌入到欧氏空间这一问题的漂亮结果。 

上世纪七十年代吴文俊把注意力转向了计算问题，特别是寻找几何中自动机器证明的有效方法。基于Ritt特征集概念，1977年吴引入了一种的强大的机械方法，将初等几何问题转化为多项式表示的代数问题，由此导致了有效的计算方法。

吴的这一方法使该领域发生了一次彻底的革命形变化，并导致了该领域研究方法的变革。在吴文俊之前，占统治地位的方法是AI搜索法，此方法被证明在计算上是行不通的。通过引入深邃的数学想法，吴开辟了一种全新的方法，该方法被证明在解决一大类问题上都是极为有效的，而不仅仅是局限在初等几何领域。

吴文俊也回到了他早年热爱的拓扑学领域，并提出了算法化发展Dennis Sullivan的有理同伦理论的途径。这样吴文俊将自己数学生涯的两个领域结合了起来。 

在1994年出版的《几何机器证明基本原理》(Springer出版社)和2000年出版的《数学机械化》（科学出版社/Kluwer）中，吴文俊描述了他的革命性的想法以及后来的进展。在他的领导下，数学机械化在近几年已经发展成为一个快速成长的学科，并与计算代数几何、符号计算、计算机定理证明和编码理论相互交叉。 

虽然Mumford 和吴文俊的数学生涯是彼此平行展开的，他们仍然有很多共同点。他们都是以传统数学领域—几何学为起点，并为其现代发展做出了贡献。他们都转向了由于计算机后出现而开启的新的领域与机遇。他们揭示了数学的广度。他们一起为未来的数学家们树立了新的榜样，应该得到邵逸夫奖的奖励。 

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