文：孙斌勇

　　在1967给数学家安德烈·韦伊的信中，数学家朗兰兹提出一个著名的猜想，现称为朗兰兹互反猜想。这个猜想后演变成朗兰兹纲领，在过去几十年对数学的发展产生了极大的影响。 

　　背景介绍 

　　我们认识数学基本上都是从整数开始的，然后是简单的几何与多项式方程。一个最古老的数学分支 - 数论，就是研究整数的。整数中间有无穷的魅力、奥秘和神奇，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。著名的问题包括哥德巴赫猜想，孪生素数猜想，费马大定理等。 

　　几何同样是最古老的数学分支。古希腊人对直线、圆周以及圆锥曲线的研究到后来发展成为代数几何，这个分支专门研究多项式方程对应的图形。过去一百多年来，代数几何的发展非常迅速，大家辈出，在数学其他分支和数学物理中都有很深刻的应用。已获菲尔兹奖的数学家中约三分之一的工作与代数几何有关。 

　　群论的产生只有一百多年，源于多项式方程的求根公式。人们很早就会解一元一次方程和一元二次方程，一元三次方程和四次方程的公式解在十六世纪被找到。一个重要的数学分支――群论在探索方程的根式解的过程中诞生了。方程是否有根式解与相应的群是否可解为一回事。群论的诞生改变了数学的面貌，影响几乎遍及整个数学，在物理和化学及材料科学中有很多的应用，是研究对称的基本工具。 

　　朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支：数论、代数几何和群表示论，实际上是密切相关的，而连接这些数学分支的纽带是一些特别的函数，被称为L-函数。L-函数可以说是朗兰兹纲领的中心研究对象。数学界著名的七个“千禧年大奖问题”中有两个就是关于L-函数的，它们分别是黎曼假设和BSD猜想。它们的重要性由此可见一斑。 

　　朗兰兹提出了怎样对一般的简约群的自守表示定义一些L-函数，并猜测一般线性群自守表示的一些L-函数跟来自数论的伽罗华群的一些表示的L-函数是一样的。这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、细化，逐渐形成了一系列揭示数论、代数几何、表示论等学科之间深刻联系的猜想。朗兰兹纲领就是对这些猜想和相关问题的研究。 

　　朗兰兹纲领研究在中科院数学院 

　　自朗兰兹互反猜想提出起，朗兰兹纲领就引起了众多数学家的兴趣。目前，几乎所有顶尖的欧美大学数学系都有人研究朗兰兹纲领。 

　　上世纪末，朗兰兹纲领及相关课题的研究在中科院数学院逐步发展起来。现在，中科院数学院已经拥有一支研究朗兰兹纲领的年富力强的团队，并取得了一系列重大成果（其中，前两项是和国外数学家合作完成），最突出的有以下几项： 

    4. 证明了卡日丹和马祖尔在上世纪70年代提出的一个局部zeta积分非零的假设。

　　团队介绍： 

　　十几年前，数学院陆续引进了一批在朗兰兹纲领研究领域工作的杰出青年人才，如毕业于哥伦比亚大学的田野、加州理工学院的王崧、香港科技大学的孙斌勇、法国巴黎七大的李文威、巴黎十三大的田一超、巴黎十一大的郑维喆、胡永泉、申旭等。以这些青年科研人员为主，数学院组建了“算术代数几何杰出研究组”，目前这个团队是国际上同领域最强的青年研究组之一。近年来，团队已取得了一批重要成果，多篇论文发表在数学国际顶尖期刊《PNAS》《Ann of Math》《Invent Math》《JAMS》等。