流体力学偏微分方程中最著名的问题是不可压Navier-Stokes方程的光滑解是否会在有限时刻内爆破，这个问题被美国Clay研究所列为千禧年世界七大数学难题之一。同样的问题依然存在于可压缩Navier-Stokes方程及其相关的粘性流体的物理模型上。对粘性可压缩流体而言，近年来最重大的突破来自于2022年Merle.F及其合作者在Annals of Mathematics上的文章。他们证明了二维全空间径向对称的可压缩Navier-Stokes方程的光滑解会在有限时刻内爆破。

    此前虽然有很多系列文章证明了高维可压缩Navier-Stokes方程的光滑解会在有限时刻里爆破，比如辛周平在1998年证明可压缩非等熵流体的紧支集初值会导致光滑解的爆破，Ronazova证明可压缩磁流体MHD方程的光滑解会在有限时刻爆破等等。但是这些结果都事先假定了解属于某个光滑空间类，因此，符合这种正则性假设的光滑解的局部存在性仍然未知。事实上，辛周平与其合作者在2019年证明了在非齐次Sobolev空间里的正则性假定下，可压缩非等熵流体甚至不存在局部的强解。因此，Merle等人的文章是可压缩粘性流体中第一个拥有局部强解且强解会在有限时刻爆破的结果。

    在本文中，我们研究了二维圆盘上径向对称的磁流体MHD方程。在假定没有磁耗散，且初始密度在球心处是真空的条件下，首次证明了该方程局部强解的存在性，并且证明了强解一定会在有限时刻内爆破。最后，我们首次给出了强解的存在时间的上界估计。和Merle等人的工作对比，我们有两个意义。这是第一个允许真空初值的粘性流体光滑解有局部存在性，且一定会在有限时刻爆破的结果。第二，这是第一篇研究内部真空动力学的文章，此前的文章大多集中在区域外部真空的自由扩散。本文揭示了真空在流体内部流动的奇性传播性质。我们的证明也基于两个全新的观察。第一个是首次发现二维径向对称磁场的加权守恒量。第二个是利用动量方程的平衡性，一方面粘性应力在长时间会衰减，另一方面磁场却具有某种特殊的加权守恒量，两者会随着时间发展而产生冲突。为此，我们首次采用了分数阶矩的测试函数来揭示内部真空与磁场的相互作用机制，并最终完成了光滑解爆破的证明。

    文章发表在德国数学年刊《Mathematische Annalen》上。

Publication: 

Mathematische Annalen，Accepted: 6 March 2025，https://doi.org/10.1007/s00208-025-03148-z

Authors: 

Xiangdi HUANG 

Institute of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China 

Email address: xdhuang@amss.ac.cn 

Zhouping XIN 

Institute of Mathematical Sciences, The Chinese University of Hong Kong, Shatin, N.T., Hong Kong S. A. R., China 

Email address: zpxin@ims.cuhk.edu.hk 

Wei YAN 

School of Mathematics, Jilin Unversity, Changchun 130012, China 

Email address: wyanmath@jlu.edu.cn