近日，中国科学院数学与系统科学研究院数学机械化实验室博士后杨剑霆与叶科研究员、支丽红研究员合作完成的论文“Sparse Sum of Hermitian Squares in Group Algebras of Finite Groups”被国际数学期刊 Foundations of Computational Mathematics 接收。

厄米平方和（Sum of Hermitian Squares，简称 SOHS）是经典平方和分解在非交换代数中的推广，为非负性验证提供了重要的代数工具，在量子信息、组合优化与多项式优化等领域具有广泛应用。如何高效构造非负元素的稀疏 SOHS 分解，是该领域的重要研究问题。现有相关研究主要集中于有限交换群及具有次数限制的多项式，对一般非交换情形仍缺乏系统的稀疏 SOHS 松弛分层与误差分析。本工作将有限交换群上的稀疏傅里叶平方和研究拓展至任意有限群的群代数，并借助逼近论，建立了稀疏 SOHS 分解的松弛分层方法及相应的误差分析理论。

在松弛分层方面，研究团队证明，利用给定非负元素的平方根，可以显式构造最稀疏 SOHS 分解问题的一个凸松弛问题的最优解。在此基础上，提出基于多项式逼近的松弛分层方法，避免直接计算平方根，并降低计算规模，为稀疏 SOHS 分解提供了可计算的途径。

在误差分析方面，研究团队分别对系数的二范数残差和常数项扰动残差建立了定量估计，证明在非负元素满足归一化条件且谱下界严格为正时，两类误差均随松弛阶数的增加而指数衰减。其中，系数二范数残差的上界仅依赖于松弛阶数和谱下界，与群的规模及非负元素的支撑大小无关。对于循环群和二面体群，研究进一步给出了不依赖于群规模的常数项扰动误差上界。

Publication:

Foundations of Computational Mathematics (Forthcoming).

https://ems.press/journals/focm/articles/forthcoming

https://arxiv.org/abs/2207.08076

Author:

JIANTING YANG

State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China 

Email address: yangjianting@amss.ac.cn 

KE YE

State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China 

Email address: keyk@amss.ac.cn 

LIHONG ZHI

State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China 

Email address: lzhi@mmrc.iss.ac.cn