丘成桐1982年在讲义《Seminar on Differential Geometry》中的第57问题提出：寻找一个非平凡的充分条件，使二维完备负曲率流形能够等距嵌入三维欧氏空间。丘成桐特别指出，这类条件可能与曲率在无穷远处的衰减速度有关。洪家兴1993年证明了只要高斯曲率在无穷远处单调下降且代数衰减速率比-2快，二维完备负曲率流形能够光滑等距浸入到三维欧氏空间。这是洪家兴院士的代表性成果之一。但以上条件不是最优，洪家兴在1993年的论文中也希望能放宽条件，并私下指出总曲率有限是一个最优条件。自1993年迄今，洪的条件一致没有得到任何改进。黄飞敏和合作者自2013年开始研究，历经11年，直到2024年才得到了几乎最优条件：总曲率有限及允许曲率适当振荡，去掉了曲率单调下降条件，从而在丘成桐第57问题的研究上取得了重大突破。相关成果发表在《数学进展》（Advance in Mathematics）上。

Publication:
Advance in Mathematics

Authors:

Wentao Cao

Academy for Multidisciplinary Studies, Capital Normal University, Beijing, 100048, China

Email: cwtmath@cnu.edu.cn

Qing Han

Department of Mathematics, University of Notre Dame, Notre Dame, IN 46556, USA

Email: qing.han.7@nd.edu

Feimin Huang

Institute of Applied Mathematics, AMSS, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China

Corresponding author

Email: fhuang@amt.ac.cn

Dehua Wang

Department of Mathematics, University of Pittsburgh, Pittsburgh, PA 15260, USA

Email: dwang@math.pitt.edu